구간합

구간 합은 합 배열을 이용하여 시간 복잡도를 더 줄이기 위해 사용하는 특수한 목적의 알고리즘이다.

 

 

🚀 구간 합의 핵심 이론

구간 합 알고리즘을 활용하기위해 먼저 합 배열을 구해야 한다.

배열 A가 있을 때 합 배열 S는 다음과 같이 정의한다.

 

S[ i ] = A[0] + A[1] + A[2] + ... + A[i-1] + A[i]    ➡️ A[0] 부터 A[i]까지의 합

 

이렇게 합 배열을 미리 구해놓으면 기존 배열의 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 O(N)에서 O(1)로 감소한다.

 

A[i]부터 A[j]까지의 배열 합을 합 배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우는 i가 0이고 j가 N인 경우로 시간 복잡도는 O(N)이다.

이런 경우 합 배열을 사용하면 O(1)안에 답을 구할수 있다.

 

✏️ 합 배열 S를 만드는 공식

S[ i ] = S[ i-1] + A[i]

 

✏️ 구간 합을 구하는 공식

S[ j ] - S[ i - 1]   ➡️ i에서 j까지 구간 합

 

예를 들어, A[2] ~ A[5] 구간 합을 합 배열로 구하는 과정은 아래와 같다

• S[5] = A[0] + A[1] + ... + A[4] + A[5]
• S[1] = A[0] + A[1]
• S[5] - S[1] = A[2] + A[3] + ... + A[5]